已知函数 f(x) = ae^x - ln(x + 2) + lna - 2 下列正确的是

A. 若f(x)在x = 0处取得极值，则函数在(0,+∞)上单调递增

B. 若f(x) \geq 0恒成立，则a\in [e, +∞)

C. 若f(x)仅有两个零点，则a\in [e,+∞)

D. 若f(x)仅有1个零点，则a = 1

A.

简单求个导

f'(x) = ae^x - \frac{1}{x + 2}

f'(0) = 0 = a - \frac{1}{2} ,a = \frac{1}{2}

发现对于 x > 0 有， \frac{1}{2}e^x > \frac{1}{2} , \frac{1}{x + 2} < \frac{1}{2}

两者一作差，导函数恒大于0，所以导函数在所给的定义域上恒大于0，那么原函数单调递增

B.

f(x) = ae^x - ln(x + 2) + lna - 2 \geq 0

这种带x 带a的式子，而且一眼看上去分离不了变量的，那么就首先试试放缩和同构吧

注意到 ae^x = e^{lna + x}

我们尝试一下分开这些变量来凑出同构的结构

e^{lna+x} + lna \geq ln(x+2) + 2

显然对于 lna 和e^{lna + x} 缺少了一个x

对于 ln(x+2) + 2 也缺少了一个x

那么在两边同时加上一个x

e^{lna+x}+lna+x \geq ln(x+2) + (x+2) = ln(x+2) + e^{ln(x+2)}

完事，令函数 g(x)= e^x + x

右边 g(x + lna)

左边 g(ln(x+2))

函数肯定是单调递增的

那么 g(x+lna) \geq g(ln(x+2))

x + lna \geq ln(x+2)

这个不等式已经很明显了，在之前我们学习了 x \geq ln(x+1)

发现x 取 x + 1时不就是我们想要的形式吗，此时 lna \geq 1

B正确

C.

按照选项的说法的话，a > 0, 看得出来 x 趋近于 -2 和 +∞ 时，函数值都是正无穷，那么我们验证一下中间区间的函数值是否小于0 和 对应的单调性就能得到答案

由A得到的 f'(x) = ae^x - \frac{1}{x + 2}

f'(x_0) = 0

ae^{x_0}= \frac{1}{x_0+2}

lna + x_0 = -ln(x_0+2)

尝试带回原式子有

f(x_0) = \frac{1}{x_0+2}+lna + x_0 -ln(x+2) - x_0 - 2 = \frac{1}{x_0 + 2} + lna - ln(x_0+2) - 2

挪移一下就是 \frac{1}{x_0+2} + lna < ln(x_0+2) + 2

发现还没成型,那就在替换一下

\frac{1}{x_0+2} -ln(x_0+2) - x_0 < ln(x_0+2) + 2

\frac{1}{x_0 + 2} - ln(x_0+2) < ln(x_0+2) + x _0+2

令函数 g(x) = e^x+x

左边有 g(ln(\frac{1}{x_0+2})

右边有 g(ln(x_0+2))

通过基础运算得到 x > -1 不等式成立

把这个结果代入到导函数取0的等式中，那么有 a\in (0,e)

其实这个式子跟B选项的很类似，换了种说法而已。

C错误

D.

C选项的特殊情况，此时 a = e

D错误

导数压轴

已知n\in N^{*},函数f_n(x) = x - nlnx有2个零点，记为x_n,y_n(x_n \frac{1}{n} = \frac{lnx}{x}">f_n(x) = 0 => \frac{1}{n} = \frac{lnx}{x}

这也是很经典的图像的，最大处x = e， 函数取 1/e, x < 1 时 小于0, x -> +∞时趋近于0

因为 n + 1 >n 所以 \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{n}

在图像上拉两条线，可以很清楚的看得到 x_{n+1} < x_n < e < y_n